Вопрос: Может ли бывший муж, у которого осталась квартира, после раздела имущества, выселить ребенка, который опекается мамой?

Ответ: При отсутствии другого жилья не может.

Определение Верховного Суда РФ от 16.04.2013 N 4-КГ13-2

Если вопреки установленным законом обязанностям родителей по защите прав несовершеннолетнего ребенка сделка купли-продажи квартиры совершена одним из родителей в отношении квартиры, в которой зарегистрирован и проживает его несовершеннолетний ребенок, не имеющий прав на другое жилое помещение, такая сделка нарушает право несовершеннолетнего ребенка на проживание в квартире. В связи с этим несовершеннолетний не признается утратившим право пользования жилым помещением и не подлежит снятию с регистрационного учета.

 Постановление Конституционного Суда РФ от 08.06.2010 N 13-П

В силу ч. 2 ст. 38 и ч. 1 ст. 40 Конституции РФ во взаимосвязи с ее ч. 3 ст. 17, согласно которой осуществление прав и свобод человека и гражданина не должно нарушать права и свободы других лиц, родители при отчуждении принадлежащего им на праве собственности жилого помещения не вправе произвольно и необоснованно ухудшать жилищные условия проживающих совместно с ними несовершеннолетних детей. При любых обстоятельствах действия родителей не должны приводить к лишению детей жилища.